في المقالة التالية، نقدم لكم بحثًا عن أوجه التشابه، وهو أحد أكثر أنواع البحث إثارة للاهتمام لكل من الطلاب والباحثين في مجال الرياضيات، وخاصة فرع علم المثلثات، حيث غالبًا ما تركز أوجه التشابه على الأشكال الهندسية، سواء إنها أشكال رباعية أو مثلثة مثل المثلثات، وتختلف أشكال المثلثات عن أين هي الأضلاع والزوايا.

المثلثات مقسمة من حيث الشكل والنوع إلى مثلث متساوي الساقين أو متساوي الأضلاع أو مثلث من جوانب مختلفة. الضلع المقابل له يسمى الوتر ويمثل أكبر ضلع في الطول، بينما المثلث الحاد هو الذي تكون زوايا قياسه أقل من تسعين درجة، ولكن ما هو التشابه، هذا ما سنجيب عليه في الفقرات التالية لذا تابعونا.

حدد التشابه

يُعرّف تشابه المثلث بأنه أحد العلاقات التي تربط زوايا المثلث ببعضها البعض، وفيها تكون الزوايا المتقابلة في كل من المثلثات المتشابهة متساوية، والأضلاع متناسبة، ومن هنا يظهر مدى الفرق في التشابه من التطابق، والذي يجب أن يكون في كلا المثلثين، أطوال الأضلاع متساوية، والزوايا بينهما متساوية.

المقصود بتكافؤ المثلثات هو أن كل منها له نفس الشكل، لكن لكل منها حجم مختلف خاص به، بينما طول كل جانب متناسب ومتشابه. AB / D) تساوي الزوايا (A / D) = (BC / E and)، ولتوضيح الأمر أكثر نذكر النقاط التالية

  • تشابه المثلثات هذا يعني أن كل من المثلثين متشابه في الشكل فقط ويرمز له بالرمز (∽).
  • تطابق المثلثات يعني التطابق في المثلثات أن كلاهما لهما نفس الحجم والشكل، ويتم الإشارة إلى التطابق بالرمز (≅).

ابحث عن أوجه التشابه في المضلعات

المثلث هو أحد أنواع المضلعات التي تحدث فيها حالة من التشابه غالبًا، وقد لوحظ أن جميع المثلثات متساوية، حيث يشتمل على نفس عدد الأضلاع حيث أنه يحتوي على نفس عدد الزوايا، ولكن في الواقع عندما يكون يأتي التشابه كنظرية عامة، فهو يمثل علاقة محددة بين المثلثين فقط، لأنه من أجل القول بأن المثلثين متشابهان أو متشابهان، من الضروري أولاً تحديد حالات تشابه المثلثات والتحقق من إحداها

أطوال وأوتار المثلثين قائمين الزاوية يساويان

عندما يكون أحد وترات المثلث القائم الزاوية مساويًا لوتر آخر في مثلث قائم الزاوية أيضًا، وطول أحد الضلعين الآخرين يساوي طول الضلعين المتقابلين لمثلث آخر، هنا الاثنين المثلثات متشابهة.

أطوال الأضلاع الثلاثة متساوية

في المثلث الأول، إذا كانت الأضلاع الثلاثة متساوية في القياس مع أطوال أضلاع المثلث الآخر، يتحقق التشابه بين المثلثين.

أطوال ضلعين وقياس الزاوية بينهما متساويان

في حالة تساوي أطوال ضلعي المثلث مع أطوال الأضلاع المتقابلة للمثلث الآخر، وتكون الزوايا بين الضلعين مساوية للزوايا المقابلة للمثلث الآخر، وبالتالي يمكن أن تكون قال إن التشابه يتحقق في المثلثين.

قياس الزوايا يساوي

إذا كانت زاويتان في مثلث واحد تساوي أطوال ضلعين متقابلين لمثلث آخر، وما يقع بين هذين الضلعين لزاوية واحدة يساوي الزاوية المقابلة لمثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان.

تشابه المثلثات القائمة

تتشابه المثلثات القائمة الزاوية في الحالات التالية

  • التشابه في الساق والوتر في الحالة التي تكون فيها النسبة بين أطوال الوتر مساوية للنسبة بين أطوال أحد الأرجل في مثلثين بزاوية قائمة، يكون المثلثان متشابهين.
  • التشابه في الساقين إذا كانت أطوال الأرجل المتقابلة متناسبة مع مثلثين قائم الزاوية ؛ يتشابه المثلثان اعتمادًا على حالة التشابه (جانب، زاوية، جانب).
  • التشابه في الزاوية الحادة عندما تكون النسبة بين أطوال الوترين مساوية للنسبة بين أحد الأرجل في المثلثين قائمين الزاوية، يكون المثلثان متشابهين.

أوجه التشابه بين المثلثات

هناك بعض الخصائص المهمة التي تميز حالات تشابه المثلث، ومنها ما يلي

  • عندما يكون المثلث مشابهًا لمثلث آخر ويكون هذا المثلث الأخير مشابهًا للمثلث الأول، وهو ما يُعرف في حالات تشابه المثلث مع التماثل.
  • من الممكن الحكم على تشابه المثلثات في حالة تحقق التشابه فقط من خلال النظر دون الحاجة إلى قياسات.
  • في كل المثلثات متساوية الأضلاع، تكون المثلثات متشابهة.
  • كل مثلثين لهما زاويتان متساويتان، وبالتالي فإن الزاوية الثالثة في كل منهما متساوية.
  • تبدو جميع المثلثات متشابهة وهو ما يُعرف بالانعكاسية.
  • إذا كان مثلثين متشابهين، فإن كل الزوايا المتقابلة متساوية.
  • إذا كان المثلث مشابهًا لمثلث آخر، ويشبه هذا المثلث أيضًا مثلثًا ثالثًا، فإن المثلث الأول يشبه المثلث الثالث، والذي يُعرف باسم الخاصية متعدية.
  • يمكن تطبيق نظرية تشابه المثلثات لحساب أطوال الأضلاع المجهولة أو المعروفة للمثلث باستخدام المسطرة للحصول على قياسات دقيقة وصحيحة.

حل مشاكل التشابه

فيما يلي بعض الأمثلة على تشابه المثلثات وحل كل من هذه الأمثلة

العدد الأول

  • أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث هي (2، 5، 12)، وهناك مثلث آخر بأطوال أضلاعه الثلاثة (4، 10، 24)، كذلك المثلثان السابقان متساويان.
  • الحل يتم حساب أطوال الأضلاع في المثلثين أولاً من النسب على النحو التالي (2/4) = 2، (5/10) = 2، (24/12) = 2، النتيجة في كل السابق كانت الحالات متساوية وبالتالي فإن المثلثين بالامتداد، فإن الأضلاع الثلاثة متساوية.

العدد الثاني

  • مثلثين متشابهين، أولهما أطوال أضلاعه (6، 7، 8 سم)، والثاني له أضلاع (أ، ب، 6.4 سم)، ما هو مطلوب لإيجاد أطوال ضلعين مجهولين في الثاني مثلث
  • الحل بما أن المثلثين متشابهان، فإن أطوال الأضلاع بينهما متساوية (8 / 6.4) = 1.25، وبالتالي يمكن حساب طول الضلع الأول (أ) باستبدال النسبة بين أطوال الأضلاع يتبع (6 / أ) = 1.25)، ثم طول الضلع (أ) يساوي (4.8 سم)، بينما يتم تحديد طول الضلع (ب) باستبدال النسبة بين أطوال الأضلاع (( 7 / ب) = 1.25 – وبالتالي استنتج أن طول الضلع (ب) يساوي 5.6 سم.