خصائص مثلث متساوي الساقين معروفة على نطاق واسع بين معظمنا. ، عبر.

خصائص مثلث متساوي الساقين

يتميز المثلث متساوي الساقين بضلعين متساويين وزاويتين متساويتين، ولكن هناك حالة خاصة عندما تكون زواياه 90-45-45، لذلك يطلق عليه مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية. من خلال النقاط التالية، سنعرض خصائص مثلث متساوي الأضلاع.

  • ضلعاها متساويان في الطول، ويطلق عليهما أرجل المثلث.
  • يسمى الضلع الثالث لمثلث متساوي الساقين بقاعدة المثلث
  • دائمًا ما تكون زوايا القاعدة متساوية في القياس.
  • زوايا القاعدة أقل من 90 درجة، وهي زاوية حادة.
  • الزاوية المقابلة للقاعدة تسمى زاوية رأس المثلث.
  • عند جمع الزوايا، تكون النتيجة 180، مما يعني أنه يمكننا معرفة زاوية رأس المثلث عندما نعرف إحدى الزاويتين الأخريين.
  • ارتفاع المثلث هو الخط المستقيم بين رأس المثلث ونصف القاعدة.
  • الخط المستقيم الذي يربط رأس المثلث بالجانب المقابل له، أي القاعدة، يشطره، ويقسم زاوية رأس المثلث، ويسمى “العمود المتوسط”. في العمود الأوسط.

دليل على خصائص مثلث متساوي الساقين

في سياق عرض خصائص مثلث متساوي الساقين، تجدر الإشارة إلى أنه يجب الإشارة إلى بعض البراهين لتسهيل وتأكيد هذه الخصائص، ومن بين تلك البراهين سنقدم على النحو التالي

1- الخاصية الأولى الزوايا القاعدية دائما متساوية في القياس.

نفترض أن المثلث (ABC) مثلث متساوي الساقين AB = A، والزاوية (A) هي رأس المثلث.

  1. نسقط عمودًا من رأس المثلث (A) على قاعدة المثلث (BC) لنقابله عند النقطة (D)، بحيث يتم تشكيل المثلثين الأيمن (ADB) والمثلث (ADC).
  2. نحن نبحث في تطابق المثلثات (ADB) و (ADC).
  3. AB = AB (مثلث متساوي الساقين).
  4. الزاوية (Adb) والزاوية (Adb) متساويتان في القياس (قياس كل منهما 90 درجة).

حيث أن الجانب AD جانب مشترك.

إذا كان للمثلثين مضلع وجانب وزاوية قائمة، فإن قياس الزاوية (ABC) يساوي قياس الزاوية (ABC).

2- الصفة الثانية ابتداء من رأس المثلث هو منصف الضلع المقابل

تنص خاصية المثلث متساوي الساقين على ما يلي

الخط المستقيم الذي يربط رأس المثلث والجانب المقابل له، أي القاعدة، يقسم جانبه أيضًا إلى شطر زاوية رأس المثلث.

دعنا نثبت أن الطول (BD) يساوي الطول (D)، وأن الزاوية (BAD) تساوي الزاوية (CAD)

نطبق هذا على المثلث متساوي الساقين المذكور في الخاصية الأولى.

  1. نحن نبحث في تطابق المثلثات (ABC) و (ACD).
  2. أب = ac (معطى).
  3. الزاويتان (Adb) و (Adc) متساويتان في القياس (قياس كل منهما 90 درجة).
  4. الضلع (AD) هو ضلع شائع (في العمل).

والمثلثات عبارة عن بوتر وضلع وزاوية قائمة والنتيجة هي الطول (BD) يساوي الطول (AD)، والزاوية (BAD) تساوي الزاوية (CAD).

حساب مساحة مثلث متساوي الساقين

الصيغة المستخدمة هي نصف طول قاعدة المثلث × ارتفاعه

على سبيل المثال مثلث متساوي الساقين قاعدته 10 سم وارتفاعه 10 سم وإحدى رجليه 10 سم. ما مساحة هذا المثلث

الاجابة

نصف طول قاعدتها = 5 سم

طول الارتفاع = 10 سم

إذن، مساحة المثلث هي نتيجة حساب نصف طول القاعدة × الارتفاع وتساوي 50 سم مربعًا، ولا يتم أخذ طول الأرجل في هذا المثلث في الاعتبار.

قوانين ومشاكل مثلث متساوي الساقين

هناك العديد من القوانين لمثلث متساوي الساقين، مثل حساب قاعدة المثلث، وحساب طول أحد أضلاعه، وغيرها. سنقدم هنا هذه القوانين موضحة بأمثلة

1- كيف تحسب قاعدة مثلث متساوي الساقين

القانون قاعدة المثلث = (مربع طول إحدى الأرجل المتساوية – مربع الارتفاع) √ × 2

يمكننا حساب قاعدة المثلث عندما نعرف طول أحد الأضلاع المتساوية (ل) وارتفاع المثلث (ع).

s = (l² – z²) √ × 2.

2- كيف نحسب طول أحد الضلعين المتساويين

القانون طول إحدى الأرجل المتساوية في المثلث = (مربع الارتفاع + مربع نصف طول القاعدة) √

يمكننا حساب طول أحد الضلعين المتساويين (ل) إذا عرفنا طول قاعدة المثلث (ب) والارتفاع (ع)

L = (p² + (b / 2) ²) √

3- كيفية حساب قياس الزوايا الداخلية

بينما نتحدث عن خصائص مثلث متساوي الساقين، يمكننا إيجاد قياسات جميع زوايا مثلث متساوي الساقين عندما نعرف قياس زاوية واحدة فقط، وسيوضح المثالان التاليان ذلك

المثال الأول مثلث متساوي الساقين قياس رأس المثلث هو 40 درجة. ما هو قياس الزوايا الأخرى الحل

  1. بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، فإن 180-40 = 140.
  2. بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فإن كل زاوية من زوايا القاعدة تساوي 140/2، وبالتالي تكون النتيجة 70 درجة.

المثال الثاني إذا كانت قيمة إحدى زوايا قاعدة مثلث متساوي الساقين 45 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى

الحل

  1. بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فإن قياس الزاوية الأخرى يساوي أيضًا 45 درجة.
  2. بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، فإن قياس زاوية الرأس هو (180-45-45)، وبالتالي تكون النتيجة 90 درجة.

مشاكل في خصائص مثلث متساوي الساقين

وفقًا للخصائص المتعددة لمثلث متساوي الساقين، لتوضيح هذه الخصائص، سنعرض لك عدة أمثلة.

المثال الأول

طول مثلث AB c طوله AB = AA c إذا كان قياس الزاوية BC AB يساوي 40 درجة، فما قياس ∠ BC

الحل

  1. بما أن ab = ac، ∠ abc = ∠ acb؛ وفقًا لخصائص مثلث متساوي الساقين.
  2. بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180، فإن ∠abc + ∠ acb + bac = 2∠ abc + ∠ bac = 180.
  3. إذن 2∠ abc = 140، وبالقسمة على 2، تكون الزاوية abc 70 درجة.

المثال الثاني

المثال الثاني لخصائص مثلث متساوي الساقين هو المثلث المتساوي الساقين ABC، ​​إذا كان قياس الزاوية ABC يساوي 50 درجة، فما احتمالات قياس الزاوية BAC

الحل

  • الاحتمال الأول إذا bc = ∠ bac ؛ وهذا هو bc = ac ؛ من الممكن معرفة قياس الزاوية abc مباشرة، ويساوي 50 درجة.
  • الاحتمال الثاني إذا ∠ bc = ∠ bca ؛ على سبيل المثال A = AB ؛ لذا يمكن إيجاد ∠bac على النحو التالي 50 + 50 + ∠ bac = 180 درجة، لذا ∠ bac = 80 درجة.
  • الاحتمال الثالث إذا كانت bac = ∠ bca ؛ وهذا هو bc = ab ؛ إذن 50 + 2∠b أ c = 180، إذن ∠b أ c = 65 درجة.

هذا يعني أن هناك ثلاثة احتمالات لقياس B أ ج 50 و 65 و 80 درجة.

المثال الثالث

مثلث متساوي الساقين abc، ويمثل فيه الجانب dc الخط المستقيم الذي يربط بين الرأس c والقاعدة AB، وفيه ad = dc = cb، إذا كان قياس الزاوية dac يساوي 40 درجة، فما هو المقياس من ∠ DCB

الحل

في المثلث ADC، ∠ DCA = DAC = 40، لذلك

  • ∠ cdb = 40 + 40 = 80 درجة، لأن الزاوية cdb تمثل الزاوية الخارجية للمثلث adc، وقياس الزاوية الخارجية دائمًا يساوي مجموع الزاويتين البعيدتين.

في المثلث DCB، ∠ CBD = CDB = 80 درجة، لذلك

  • ∠ dd = 180-80-80 تساوي 20 درجة.

المثال الرابع

مثلث متساوي الساقين له قياس إحدى زاويتَي القاعدة (4x + 12) والزاوية الأخرى (5x-3)، ما قيمة x، وما قياس زوايا المثلث

الحل

  • بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فيمكن إيجاد قيمة x على النحو التالي
  1. 4 س + 12 = 5 س -3
  2. حل هذه المعادلة x = 15.
  3. الزاوية الأولى (4x + 12) = (4 x 15) + 12 = 72.
  4. بما أن زوايا القاعدة متساوية، فإن قياس الزاوية الأخرى يساوي أيضًا 72 درجة.

بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180، فيمكن إيجاد زاوية رأس المثلث على النحو التالي 180-72-72، تساوي 36 درجة.

المثال الخامس

مثلث متساوي الساقين له إحدى زوايا قاعدته 47. ما هو قياس زاوية الرأس

الحل

  • بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن زوايا القاعدة متساوية، وبالتالي فإن قياس زاوية القاعدة الأخرى يساوي أيضًا 47 درجة.
  • بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180، فيمكن إيجاد زاوية الرأس (x) على النحو التالي 47 + 47 + x = 180 x
  • = 180-47-47 = 86 درجة.

المثال السادس

مثلث متساوي الساقين له قياس الرأس 116، ما قياس زوايا القاعدة

الحل

  • نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180، فيمكن إيجاد زاويتين أساسيتين متساويتين (ب) على النحو التالي 116 + ب + ب = 180 درجة. 2 × ب = 64 ب = 32 درجة.

المثال السابع

مثلث متساوي الساقين له طول متساوٍ في الطول 19x + 3، والضلع الآخر 8x + 14، ما قيمة x

الحل

  • بما أن الضلعين متساويان، فيمكن إيجاد قيمة x على النحو التالي 19x + 3 = 8x + 14، ومنها 11x = 11، ومنه x = 1.

المثال الثامن

مثلث متساوي الساقين له طول ضلع متساوٍ 5y-2، والضلع الآخر 13، ما قيمة y

الحل

  • بما أن المثلثين متساويين، فيمكن إيجاد قيمة y على النحو التالي 5y – 2 = 13، ومنه 5y = 15، ومنه y = 3.

المثال التاسع

مثلث متساوي الساقين حيث زواياه الأساسية 8y-16 والزاوية الأخرى 72 وقياس الرأس 9y. ما قيمة x و y

الحل

  • بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن قياسات زوايا القاعدة متساوية، لذا يمكن إيجاد قيمة y على النحو التالي

8 ص. 16 = 72، ومنها 8 ص. = 88 ومنه ع = 11.

  • نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، فيمكن إيجاد قياس زاوية الرأس على النحو التالي

180-72-72 = زاوية الرأس، إذًا زاوية الرأس = 36 = 9x، لذا س = 4.

المثال العاشر

المثلث المتساوي الساقين هو مثلث قائم الزاوية يبلغ طول ضلعيه المتساويين 6.5 سم. ما هو طول الوتر

الحل

  • نظرًا لأن المثلث قائم الزاوية، فيمكن إيجاد طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، على النحو التالي
  • وتر المثلث 2 = (الجانب 1) 2 + (الجانب 2 2) ؛ حيث الجانب الأول والثاني (ل) هما جانبي القائمة.
  • الوتر² = (l² + L²) √، وبإدخال الجذر التربيعي على كلا الجانبين، يكون الوتر = l × 2√، فيكون الوتر = 6.5 × 2√.

المثال الحادي عشر

المثلث متساوي الساقين هو مثلث قائم الزاوية، وإذا كان طول الوتر 10 سم، فما أطوال الضلعين المتساويين

الحل

  • بما أن المثلث قائم الزاوية، فيمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلعي اليمين، على النحو التالي

الوتر 2 = (الضلع 1) 2 + (الضلع 2) 2، ومنه الوتر² = (l² + l²) √، وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين، نحصل على

الوتر = طول ضلعي القائمة المتساويين × 2√، منها 10√ = طول ضلعي القائمة المتساويين × 2√، ومنه الضلع = 2√ / 10√، وبالتالي فإن طول كل جانب من جوانب القائمة هو 5 سم.